벡터가 뭐에요?
벡터란?
- 벡터는 공간에서
한 점을 나타낸다. - 벡터는 원점으로부터의 상대적인
위치를 표현한다. 벡터에 숫자를 곱해주면(스칼라곱) 길이가 변하지만, 스칼라가 0보다 작다면
반대 방향이 된다.벡터는 숫자를 원소로 가지는 리스트 혹은 배열이다.
- 벡터끼리 같은 모양을 가지면 덧셈, 뺄셈, 성분곱을 계산할 수 있다.
- 두 벡터의 덧셈은 다른 벡터로부터
상대적인 위치 이동을 표현한다. (뺄셈은 방향을 뒤집은 덧셈)- 벡터 x에 대하여, $x = 0 + x$ 가 성립한다. 즉 x라는 벡터는 원점벡터에서부터의 상대적인 위치를 나타낸다.
벡터의 노름
벡터의 노름(norm)은
원점에서부터의 거리이다.L1-노름은 각 성분의
변화량의 절대값을 모두 더한 값이다.- L2-노름은 피타고라스 정리를 이용하여
유클리드 거리를 계산한다. - 노름의 종류에 따라 기하학적 성질이 달라진다.
- L1-노름 상의 원은 마름모꼴 (Robust 학습, Lasso 회귀)
- L2-노름 상의 원은 흔히 알고 있는 원이다. (Laplace 근사, Ridge 회귀)
- 두 벡터 사이의 거리를 계산할 때는 벡터의 뺄셈을 이용한다.
- 뺄셈을 거꾸로 해도 거리는 같다.
- L2-노름에서 두 벡터 사이의 거리를 이용하여, 제2 코사인 법칙에 의해 두 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있다.
- 내적(inner product)을 통해 분자를 쉽게 계산할 수 있다.
벡터의 내적
- 내적은 두 성분곱의 총합이다.
- 내적은 정사영(orthogonal projection)된 벡터의 길이와 관련이 있다.
- Pros(x)는 벡터 y로 정사영된 벡터 x의
그림자를 의미한다. - Proj(x) = ||x||2cos(theta)
- 내적은 정사영의 길이를 벡터 y의 길이 ||y||만큼 조정한 값이다.
